引言
近年来我国航天领域成绩斐然，本文将研究确定火箭最佳级数的问题，以满足正常发射卫星的需求为前提，考虑卫星的速度、火箭的推力、火箭与卫星的质量，最终确定火箭的最佳级数。
问题提出
历史回顾
我国从1956年开始进行火箭的研制工作，1964年6月29日我国自行设计研制的中程火箭试飞成功，之后着手研制多级火箭，向空间技术进军。经过5年的努力，1970年4月24日，“长征一号”运载火箭诞生，首次发射“东方红一号卫星”，我国航天技术由此迈出重要的一步。
现在“长征”系列火箭已经走向世界，享誉全球，在国际发射场上占有重要一席。近年来我国在火箭发射次数上赶超了欧洲，“长征二号F”已经成为全球仅有的三种轨道载人运载器之一。2016年6月25日，“长征七号”运载火箭首飞成功。
火箭级数
我们都看过火箭发射，火箭从地面发射时先点燃第一级推进器加速火箭的飞行；到第一级火箭的燃料燃尽时将第一级火箭丢弃，同时点燃第二级火箭；到第二级火箭燃尽时将第二级火箭丢弃，同时点燃第三级火箭，使火箭加速到一定的速度并将卫星送入轨道。火箭的三级结构被各国所采纳，那为什么都采取三级结构呢？多级火箭需要较为复杂的连接部件，制造一级火箭肯定比多级火箭要简单，那么能否用一级火箭发射卫星呢？如果一级火箭不行，那么二级火箭可以吗？为什么必须要三级火箭？如果三级火箭比二级火箭好，那四级火箭是不是就比三级火箭好，更多级火箭呢？事实上，使用三级火箭而不用一、二级火箭或更多级火箭的原因绝非偶然，而是采用数学模型、数学方法进行定量分析的结果。今天我们来建立运载火箭的数学模型，说明三级火箭在某种意义下是最优方案。
运载火箭是一个十分复杂的系统，影响它飞行的因素很多：
- 发动机是否足够强大
- 火箭的结构是否有足够的强度
- 火箭的外形是否使前进阻力减小到最低限度
- 火箭的控制系统是否灵敏可靠
构建数学模型必须找出主要因素，我们现在讨论的问题是：将运载火箭垂直于地面发射，最后将卫星送入绕地球旋转的轨道并使它保持在轨道上运动。要达到这个目的，卫星必须保持一定的速度从而要求运载火箭将卫星送入轨道时达到较大的速度，这个速度又是通过火箭推进器给予的。根据牛顿第二定律：$F=ma$，要获得较大的加速度需要较大的推力和较小的质量，所以必须考虑火箭推进器的推力和火箭系统的质量。
归结起来，我们需要考虑以下问题：
- 卫星的速度
- 火箭的推力
- 火箭与卫星的质量
- 火箭的最佳级数
至于火箭的结构、外形及控制等问题在确定火箭的最佳级数时不是主要因素，我们只假定它们能满足火箭的正常飞行需要而不加以考虑。
卫星速度
行星运动定律
首先我们来讨论卫星能够维持在轨道上运行而不落下来所必须达到的速度。这个问题的解决，依赖于牛顿万有引力定律，因为卫星在绕地球作圆周运动时，受到转动惯心力抵消了地球对卫星的引力作用，从而维持卫星在轨道上的运行，不会因为地球的引力作用掉下来。
万有引力定律由牛顿在总结前人研究成果基础上得出的著名物理定律。我们知道，伽利略在比萨斜塔上做了一个实验，验证了自由落体定律、开普勒通过对火星的细致研究以及对当时已经发现的太阳系六大行星的轨道综合分析，总结出著名的行星运动三定律：
开普勒第一定律
行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
太阳和每个行星连接而成的矢径，随着行星的运动，在单位时间内扫过的面积恒为常数
开普勒第三定律
太阳系中各行星的运行周期的平方与轨道半长轴的立方之比对各行星是相同的
第一宇宙速度推导
牛顿进一步分析了力与这些现象的关系，得出了反应不仅存在于地球与物体、太阳与行星，而广泛存在于宇宙万物之间的万有引力定律：
$F=\gamma\frac{m_1m_2}{r^2}$
宇宙万物之间都存在着相互之间的引力，它的作用方向在两点的连线上，它的大小与两者的质量的乘积成正比，而和两者距离的平方成反比，且比例系数是一个对万物皆相同的宇宙常数。
根据万有引力定律，地球对卫星的引力可以表示为 $G=\gamma \frac{Mm}{r^2}$，$M$ 为地球质量，$m$为卫星质量，$r$ 为卫星到地球中心的距离，$\gamma$ 为万有引力常数。也就是地球对卫星的引力与地球的质量和卫星的质量的乘积成正比、与两者之间的距离平方成反比。我们再令 $k=\gamma M$，最终可以得到 $G=k\frac{m}{r^2}$，这个 $k$ 就是地球引力常数，它仅依赖于地球的质量而与卫星的质量无关。
$k\frac{m}{R^2}=mg \qquad$ $g$ 为重力加速度；$mg$ 为卫星在地面上的重量；$R$ 为地球半径
$k=gR^2$
最后引力公式可以写成如下的形式：
$G=k\frac{m}{r^2}=mg(\frac{R}{r})^2$
现在再来考虑卫星的运动，假设卫星以速度 $v$ 绕地球作匀速圆周运动，那么卫星没有切向加速度，法向加速度为 $\frac{v^2}{r}$。由于卫星只受到地球的影响，由牛顿第二定律得转动惯性力抵消了地球对卫星的引力作用：
$m\frac{v^2}{r}=mg(\frac{R}{r})^2$
$v=R\sqrt{\frac{g}{r}}$
最后这个速度就是卫星绕地球旋转不至因引力而坠落的速度。卫星是用火箭送入轨道的，所以火箭的最终速度至少也应该达到 $v$。我们近似取 $R$ 为地球半径代入公式得：
$r \approx R=6371km$
$v=\sqrt{Rg} \approx 7.9km/s$
这就是所谓的 第一宇宙速度。
火箭的推力
接下来讨论火箭的推力问题。首先将火箭简化成一个装满燃料的燃料仓和火箭发射器构成的一个系统。燃料在发动机中燃烧产生大量气体，从火箭的地步喷射出去，对火箭产生向前的推力：
反冲
一个物体在内力的作用下分裂成两个部分，一部分向某个方向运动；另一个部分必然向相反方向运动。
在反冲运动中物体受到的反冲作用通常称为 反冲力，这个过程遵循 动量守恒定律：
动量守恒定律
系统在内力的作用下，当一部分向某一方向的动量发生变化时，剩余部分沿相反方向的动量发生同样大小的变化。
反冲运动与爆炸、碰撞有相似之处，作用内力远大于外力。为了简化分析，我们忽略影响不大的重力与空气阻力，采用微元法利用动量守恒定律和质量守恒定律，考察时间微元 $(t,t+\Delta t)$ 中火箭系统的动量变化。
$mv$ –> $m(t)v(t)$
$m(t)$ $t$时刻火箭的质量 $\qquad v(t)$ $t$时刻火箭的速度
$t+\Delta t:$
$m(t+\Delta t)v(t+\Delta t)$ 继续飞行的火箭系统的动量
$(m(t)-m(t+\Delta t))(v(t)-u)$ $\qquad u$ 气体喷射相对于火箭的速度；$v(t)$ 火箭相对于地球的速度
于是由动量守恒定律知：
$m(t)v(t)=m(t+\Delta t)v(t+\Delta t)-(m(t+\Delta t)-m(t))(v(t)-u)$
$m(t)v(t)-m(t+\Delta t)v(t+\Delta t)=-(m(t+\Delta t)-m(t))(v(t)-u)$
$m(t+\Delta t)v(t+\Delta t)-m(t)v(t)=m(t+\Delta t)-m(t))(v(t)-u)$
$\frac{m(t+\Delta t)v(t+\Delta t)-m(t)v(t)}{\Delta t}=\frac{m(t+\Delta t)-m(t))(v(t)-u)}{\Delta t}$
$\lim_{\Delta t->0}{\frac{m(t+\Delta t)v(t+\Delta t)-m(t)v(t)}{\Delta t}}=\lim_{\Delta t->0}{\frac{m(t+\Delta t)-m(t))(v(t)-u)}{\Delta t}}$
$\frac{d(m(t)v(t))}{dt}=\frac{dm(t)}{dt}(v(t)-u)$
$\frac{d(m(t)v(t))}{dt}=\frac{dm(t)}{dt}v(t)-\frac{dv(t)}{dt}m(t)$
$m(t)\frac{dv(t)}{dt}=-u\frac{dm(t)}{dt}$
分离变量可以得到：
$v(t)=v_0+u\ln\frac{m_0}{m(t)}$ $\qquad v_0$ 初始时刻火箭的速度；$m_0$ 初始时刻火箭系统的质量
如果初始时火箭静止在地面上，那么 $v_0=0$ ，$v(t)=u \ln\frac{m_0}{m(t)}$
火箭系统的质量
构成火箭系统的质量有三个部分：火箭的有效载荷 $m_p$、火箭的结构质量 $m_s$、火箭所装载的燃料质量 $m_f$。显然初始时刻火箭的初始质量就是这三者之和：$m_0=m_p+m_s+m_f$
虽然上一节我们推导出了任一时刻火箭速度的公式，但我们并不关心任意时刻火箭的速度到底是多少，我们实际关心的是火箭最终能达到怎样的速度，这个速度是否能保证卫星在预定轨道上绕地球旋转而不掉下来。
$v(t)=u \ln\frac{m_0}{m_p+m_s}$
这里分母少掉了 $m_f$ 就是燃料燃烧完毕以后的火箭系统质量。我们再引入火箭的结构比：$\lambda=\frac{m_s}{m_s+m_f}$ 用来表示结构质量在结构和燃料总质量中所占的比例，则 $1-\lambda=\frac{m_f}{m_s+m_f}$ 表示燃料质量在结构和燃料总质量中所占的比例：
$m_s=\lambda(m_s+m_f)=\lambda(m_0-m_p)$
最后代入火箭最终的速度公式：
$v=u \ln{\frac{m_0}{m_p+m_s}}=u \ln{\frac{m_0}{\lambda m_0 + (1-\lambda)m_p}}$
由此可见，对于给定气体喷射速度 $u$ ，火箭的最终速度在有效载荷质量 $m_p = 0$ 时达到最大，最大值为 $u \ln{\frac{1}{\lambda}}$ 。这是显而易见的，在气体喷射速度一定的情况下，推力也就给定了；在推力给定的情况下，质量越小，获得的加速度就越大，从而速度也就越大。
也就是说，只要结构比 $\lambda$ 够小亦或是气体喷射速度 $u$ 够大，火箭就能达到任意想达到的速度。 但是很可惜，结构比和气体喷射速度不是可以任意给定的，它们是由当前技术条件所决定的。目前气体喷射速度可以达到 $u=3km/s$、结构比 可以达到$\lambda = 0.1$，代入数据可以得到一级火箭的最终速度：
$u u \ln{\frac{1}{\lambda}}=3 \ln10 \approx 7(km/s)$
由此可见一级火箭无法达到第一宇宙速度。
多级火箭的速度公式
由牛顿第二定律 $F=ma$ 得在推力一定的情况下，为了获得更大的加速度，减少火箭质量是一个有效的措施。设想构建一种理想的条件：火箭在燃料耗去一部分时，用于装载这一部分的火箭结构可以同时抛弃。这种理想化的条件是很难实现的，但是这种设想启迪人们研发出多级火箭：将火箭设计成若干级，当某一级火箭的燃料燃尽时，将该级火箭的结构抛弃以此来减轻火箭系统的质量。
$n$ 火箭级数 $\qquad m_i$ 第 $i$ 级火箭的结构和燃料的总质量 $\qquad \lambda$ 结构比 $\qquad m_p$ 有效载荷
第 $i$ 级火箭的结构质量：$\lambda m_i$
第 $i$ 级火箭的燃料质量：$(1-\lambda)m_i$
火箭的初始质量：$m_0=m_p+m_1+m_2+…+m_n$
当第一级火箭燃料消耗完毕时，火箭速度公式为：$v=v_0+u\ln{\frac{m_0}{m(t)}}$ ，那么火箭的质量为$m_p+\lambda m_1+m_2+…+m_n$
火箭的速度：
$v_1=u\ln{\frac{m_0}{m_p+\lambda m_1+m_2+…+m_n}}$
此时 $v_1$就是第二级火箭点燃时的初速度，而火箭此时没有了第一级火箭的燃料质量，质量为 $m_p+m_2+m_3+…+m_n$……以此类推，第 $n$ 级火箭的速度为：
$v_n=v_{n-1}+u \ln{\frac{m_p+m_n}{m_p+\lambda m_n}}$
三级火箭的最优性
由于实际中我们还需要考虑成本问题，所以现在在一切已知的前提下考虑如何分配各级火箭的质量使火箭的初始质量 $m_0$ 达到最小？
已知 $v,u,\lambda,m_p$ ，在约束条件
$$
m_0=m_p+m_1+m_2+…+m_n \
\ln(\frac{m_0}{m_p+\lambda m_1+m_2+…+m_n}\cdot \frac{m_p+m_2+…+m_n}{m_p+\lambda m_2+…+m_n}\cdot…\cdot \frac{m_p+m_n}{m_p+\lambda m_n})=\frac{v}{u}
$$
下，球 $m_0$ 的最小值或者 $\frac{m_0}{m_p}$ 的最小值
令 $a_i=\frac{m_p+m_i+…+m_n}{m_p+m_{i+1}+…+m_n}$，在约束条件 $\ln{\frac{a_1}{1+\lambda(a_1-1)} \cdot \frac{a_2}{1+\lambda(a_2-1)}…\frac{a_n}{1+\lambda(a_n-1)}}=\frac{v}{u}$ 下，求 $a_1a_2…a_n$ 的最小值。
再令 $x_i=\frac{1+\lambda(a_i)+1}{a_i}$ ，在约束条件 $x_1x_2…x_n=e^{-\frac{v}{u}}$ ，下，求 $(x_1-\lambda)(x_2-\lambda)…(x_n-\lambda)$ 的最大值
命题：设 $\lambda$ 与 $C$ 为给定数值，且 $C \ge \lambda^n$，则 $y=\Pi^n_{i=1}(x_i-\lambda)$
满足约束条件 $\Pi^n_{i=1}x_i=C$ 和 $x_i \ge \lambda$ 的最大值在 $x_i=C^{\frac{1}{n}}$ 时达到，且最大值为 $y_{max}=(C^{\frac{1}{n}}-\lambda)$
当 $x_i=e^{-\frac{v}{nu}}$ 是， $(x_1-\lambda)(x_2-\lambda)…(x_n-\lambda)$ 达到最大值 $(e^{-\frac{v}{nu}}-\lambda)^n$，则质量比 $\frac{m_0}{m_p}$ 的最小值为 $\frac{m_0}{m_p}=(\frac{1-\lambda}{e^{-\frac{v}{nu}}-\lambda})^n$，称为最优质量比。
多级火箭的最优质量比随火箭级数 $n$ 的增大而单调递减：
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | $\infty$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\frac{m_0}{m_p}$ | – | 149 | 77 | 65 | 60 | 49 |